因此，1/xpx＝1/ypy。由此可得xpx＝ypy。然而，预算约束是xpx＋ypy＝i。故有2xpx＝i及x＝i/2px，这就是需求曲线。
我们刚刚看到了，需求函数x＝i/2px是怎样从效用函数u＝logx＋logy导出的。这一需求函数具有这样的性质，即花在x商品上的货币量是一个不变的和数。这条需求曲线因此是一条等边双曲线。还需注意的是，这里的效用函数是一种x和y的边际效用相互独立的函数。y的边际效用仅依赖于y的数量，而x的边际效用仅依赖于x。上述效用函数还具有每种商品的边际效用递减的性质。
现设效用函数为u＝xy。在这一函数中，x的边际效用等于y（ux＝y），而y的边际效用等于x（uy=x）。从图形上看，这一情况可以表示为如图2．14所示的情形。在这一函数中，如果x增加，x的边际效用仍然不变，而若y增加，y的边际效用也不变。这一函数在两个意义上与前一种函数不同：不再有递减边际效用，而存在着相互依存性。然而，由这一效用函数所产生的需求函数是一样的，即x＝i/2px。
现在考虑一下第三种效用函数，u＝x2y2。在这个例子中，x的边际效用（ux）等于2xy2，而y的边际效用（uy）为2yx2。在这一函数中，不论对x还是y来说，都存在着相互依存性和递增边际效用。从上述式子中求需求函数，我们得到x＝i/2px，这再次与我们在前两种情况中所求得的一样。
在前面的三种函数中，我们设定了三种情况，即：相互独立性和递减边际效用，相互依赖性和不变边际效用，以及相互依赖性和递增边际效用。然而在每种情况中，我们最终都得到同样的需求函数。这种表面上的矛盾可以用另一种方式来陈述。我们看到，人们把他们收入的一半用于x商品，这就是当需求函数为x＝i/2px时的情形。然而却存在三种不同的效用函数可以用来说明这一观察到的现象的合理性。让我们设计一个表格来说明，商品的不同组合是怎样依这些效用函数而排列的。函数1：u＝logx＋logy（数字均取自然对数）；函数2：u＝xy；函数3：u＝x2y2；而且再增加一种第四种函数，函数4：u＝√x＋(√y/2)。
表2.3
xy1234
110111.5
120.693241.707
131.099391.866
210.693241.914
311.099392.232
221.3864162.121
从表2．3中可以看出，效用函数1、2和3都以同一种方式将商品组合进行排列，而4的排列方式不同。不同的效用函数对这些商品组合给予不同的数值；但当考虑任何两组商品时，若函数1表明，一组商品的效用高于另一种，函数2和3也将表明同一种情形。既然按照通常的市场行为，即在确定性条件下的行为，个人只表现出他是否愿意要一级商品而不愿要另一组，但从不表示他要多少，那么，对于这三种效用函数产生同样的需求函数，就不必惊奇了。函数1、2和3都是（xy）的函数，因此，如果我们称u＝xy为一个效用函数的话，其他两个就可以写成u的函数，即f＝loguandg＝u2。但是，函数4则不能表示为u的函数。这一点可以推广，即如果某种u＝f（x，y）和个行为相一致，那么，任何其他函数u*＝f［u（x，y）］也是如此，假设du*/du＞o。这两个条件保证了，所产生的各种效用函数将按同样的方式排列各组商品。用下一节的词汇说，这三种效用函数将具有同一条无差别曲线，即使它们赋予这条曲线以不同的数值。
无差别曲线理论
无差别曲线方法是简明地概括偏好的另一种工具。考虑任何一个商品空间xy，并考虑在这一商品空间中标价为p的x和y的任何一组。这一商品空间如图2.15所示可分为四个象限。让我们假设，个人宁愿要每种商品中较多的一份而不愿要较少的一份。那么，在标为3的区域内的任何一点显然都是比p点更能满足偏好的，因为它表示或者可多得到些x，或者可多得到些y，或者两者都能多得些。根据同样的道理，就p点代表着或者是更多的x，或者是更多的y，或者两者都更多些而言，p点显然比标为1的区域内的任何一点都更能满足偏好。至于第2和4象限中的点，我们可以试问我们正在决定其偏好的个人，他是如何安排各点相对于p点的位置的。我们可以将他的各种选择分别标为＋或标为－。以这种方式，我们可以将区域2和4中的点分别加以＋或－号。在各＋号和－号之间将存在某种边界线，在此线上的各点代表着对他来说是无差别的各种组合，而这条线我们可以称作无差别曲线。我们假设人们偏好于多多益善时，就意味着这条无差别曲线不能横跨第1和第3象限。因此，无差别曲线决不会具有正斜率，而必须是在经济区域中所有各点上都呈负倾斜。确定了无差别曲线在所有各点上均呈负倾斜，还存在着该线或者对原点下凹或者对其下凸的可能性。在下面将要说明其论据基础上，假设无差别曲线凸向原点是合理的，通过从p点以外的一点开始，我们可以用相同的方式划出一条无差别曲线。原则上讲，无差别曲线通过每一个点。一组特定的无差别曲线就是一个特定的个人偏好图。
至于一个特定个人的种种机会，则可以在几何上如图2．16那样表示出来。个人被假定有一项货币收入i，他将这项收入用于商品x和y。若他将他的所有收入都用于商品y，他可以购买i/py个单位的y。若他将他的所有收入用于商品x，他可购买i/px个单位的x。因此，这条线相对于x轴的斜率是px/py。从经济上说，这意味着，如果个人少购买一个单位的x，他就节省了数量相等于px的货币。用这一数量的货币，他可购买px/py个单位的y。px/py因此代表着商品y可以用来替代商品x的比率。图中的阴影部分代表可实现的各种组合的区域。
再加上两条已经得到的边界线，我们看到，个人决不会停留在可实现的各种组合的区域内，而是将努力达到边界线上。均衡的条件是，个人选择位于最高的无差别曲线上，同时也位于可实现的组合所构成的线上的那一点。现在可以看清了假设无差别曲线关于原点呈凸性的理由了。如果无差别曲线是向原点处下凹的，那么，均衡点将位于两条轴中的一条之上，即我们将会看到人们在消费方面专一化。因此，我们将这一点排除了。如果无差别曲线在某些地方凸向原点，某些地方凹向原点，那么，个人就不会在无差别曲线凹向原点的任何部位处于均衡状态。因此，无差别曲线在经济上有意义的部分总是其凸向原点的部分。若各无差别曲线都是凸向原点的，则均衡点就是可实现的消费组合线正切于一条无差别曲线的一点。
如上所述，可实现的消费组合线的斜率是px/py，或者说是个人能够依以商品y代替商品x的比率。类似地，对无差别曲线来说，如果个人放弃一个单位的x，他将失去约ux个单位的效用。因此，为了使个人保持在同一条无差别曲线上，必须给他ux/uy个单位的y。ux/uy因此表示了这个人愿意以y代替x的比率。均衡的正切条件要ux/uy＝px/py，既然ux/uy从数量标明了无差别曲线相对于x轴的斜率。表述这一均衡条件的另一种方式是说：个人愿意以y代替x的比率必须等于他能够以y代替x的比率。
我们现在可以来看一下为什么前一节的三种效用函数能得出同样的需求曲线。所有三个效用函数能产生出同样的无差别图。例如，如果u＝f（x，y）是效用函数，那么由这一效用函数产生的各条无差别曲线将具有的斜率是－[au/ax]/[au/ay]＝－ux/uy。如果我们取u的任何函数，譬如说u*，使u*＝g［u（x，y）］，那么，由这一u*函数所给出的无差别曲线的斜率将是－[du*/du]ux/[du*/du]uy＝－ux/uy。由此我们看出，所有这些效用函数将具有同样的无差别曲线。即使du*/du≤o，这一点也成立。du*/du＞o的条件是对于保证按同一方向排列是必要的。
刚才我们已经看到，无差别曲线是分割两个区域的一条分界线，一个区城包括那些与处于无差别曲线上的各种商品组合相比得不到偏好的各种商品组合，另一个则包括那些相比之下得到偏好的各种商品组合。无差别曲线的斜率是消费时的替代率。预算线的斜率则表示了购买时的替代率。预算线不一定就是直线。在一种鲁宾逊·克鲁索经济中，无差别曲线将和上面所描述的一样，但相应地却不是有一条预算线，而是将有一条转换线。这条曲线的斜率所代表的将不是市场上的，而是生产中的替代率。
无差别曲线作为工具的目的在于推导出需求函数，例如说，根据x的价格，y的价格以及货币收入推导出x商品的需求函数。